MAT01 Mathematische Grundlagen

Gegeben sind (unter anderem) die Preis-Absatz-Funktion \(p(x)=150-0.4x\). Man ermittle in Aufgabe

10) den Grenzerlös bzgl. des Preises bei einem Marktpreis von 120 GE/ME.

Problem einordnen

In dieser Aufgabe sollen wir die Grenzerlösfunktion E'(p) berechnen und evaluieren an der Stelle p=120. Gesucht wird folglich E'(120). Sie brauchen folgende Kenntnisse, um diese Aufgabe lösen zu können:

• Berechnung und Interpretation von Erlös und Grenzerlös: Tietze Kapitel 6.1.2.2
• Ganz allgemein die Ableitungsregeln: siehe Skript MAT01, Block I, LS 2, Seite 5-10

Formaler Lösungsweg

Um den Grenzerlös an der Stelle p=120, also E'(120), zu bekommen, braucht es drei Schritte (i)-(iii). (i) Zuerst wird die Erlösfunktion \(E(p)\) hergeleitet. (ii) Danach berechnen wir die Ableitungsfunktion \(E'(p)\), also den Grenzerlös bezüglich des Preises. (iii) Zum Schluss evaluieren wir die Grenzerlösfunktion für p=120 und erhalten somit den Wert \(E'(120)\).

(i) Berechnung der Erlösfunktion in Abhängigkeit des Preises, also \(E(p)\)

Wir brauchen zuerst eine Erlösfunktion. Der Erlös ist per definitionem der Preis multipliziert mit der Menge. Formal ausgedrückt: \(E=p \cdot x\). Da der Preis und die Menge nicht unabhängig voneinander sind (siehe Preis-Absatzfunktion: bei einem höheren Preis sinkt die Nachfrage), gäbe es nun 2 Ansätze, den Erlös darzustellen:

Ansatz 1 (führt in dieser Aufgabe 10 nicht zum Ziel): Der Erlös als Funktion von der Menge x, also E(x). Hierfür müssen wir den Preis p in \(E=p \cdot x\) ersetzen durch die Preis-Absatzfunktion \(p(x)=150-0.4x\) aus der Aufgabenstellung, sodass \(E(x)=p(x) \cdot x=(150-0.4x) \cdot x=150x-0.4x^2\). Dadurch erhalten wir die Erlösfunktion \(E(x)=150x-0.4x^2\), welche nur noch von der Menge x abhängt.

Den Ansatz 1 zur Berechnung des Erlöses in Abhängigkeit der Menge brauchen wir zum Beispiel in Aufgabe 14 in dieser Serie.

Ansatz 2 (führt in dieser Aufgabe 10 zum Ziel): Der Erlös wird nun als Funktion vom Preis p dargestellt, also E(p). Hierfür müssen wir die Menge x in \(E=p \cdot x\) ersetzen. Da wir allerdings die Preis-Absatzfunktion in der Form p(x) anstatt der in der Form x(p) haben, müssen wir zuerst die Umkehrfunktion der Preis-Absatzfunktion \(p(x)=150-0.4x\) bilden:

\(p=150-0.4x \quad \Rightarrow \quad 0.4x+p=150 \quad \Rightarrow \quad 0.4x=150-p\)

\( \Rightarrow x=375-2.5p \quad \Rightarrow \quad x(p)=375-2.5p\)

Wir können die Menge x in der Erlösfunktion \(E=p \cdot x\) nun durch die Umkehrfunktion \(x(p)=375-2.5p\) ersetzen und erhalten \(E(p)=p \cdot x(p)=p \cdot (375-2.5p)=375p-2.5p^2\). Dadurch erhalten wir die Erlösfunktion \(E(p)=375p-2.5p^2\), welche nur noch vom Preis p abhängt.

Warum ist nun der Ansatz 2 der Richtige? Gemäss Aufgabenstellung müssen wir den Grenzerlös bezüglich des Preises berechnen. Es geht also darum, wie sich der Erlös E ändert, wenn der Preis p verändert wird. Dazu müssen wir die Funktion E(p) nach p ableiten, das heisst E'(p) bestimmen. Daher ist der Ansatz 2 der richtige Weg in diesem Kontext (aber auch zum Beispiel in Aufgabe 23 in dieser Serie).

Grafisch können wir bereits anhand der Erlösfunktion \(E(p)=375p-2.5p^2\) erkennen, was wir schlussendlich mit Hilfe der Grenzerlösfunktion mathematisch berechnen werden. Wir suchen die Steigung der Tangente der Erlösfunktion an der Stelle p=120. Die entsprechende Grafik finden sie hier).

(ii) Berechnung der Grenzerlösfunktion bezüglich des Preises, also \(E'(p)\)

Leiten wir also \(E(p)=375p-2.5p^2\) nach p ab. Damit erhalten wir den Grenzerlös bezüglich des Preises \(E'(p)=375-5p\). Dieser Grenzerlös können wir für beliebige Preise p evaluieren. (Der Wert dieses Grenzerlöses gibt dann für ein beliebiges p an, was die Steigung der Tangente der Erlösfunktion für dieses beliebige p ist.)

(iii) Berechnung des Grenzerlöses an der Stelle p=120, also \(E'(120)\)

Da aber gemäss Aufgabenstellung gefragt wird, dass dieser Grenzerlös an der Stelle p=120 berechnet werden soll, setzen wir nun in der Grenzerlösfunktion \(E'(p)=375-5p\) den Preis p=120 ein und erhalten \(E'(120)=375-5 \cdot 120=-225\) GE/(GE/ME). Die entsprechende Grafik finden sie hier). Die Interpretation von \(E'(120)=-225\) GE/(GE/ME) ist wie folgt:

Wird der Preis bei p = 120 GE/ME um 1 GE/ME erhöht, so verringert sich der Erlös (und nicht etwa der Grenzerlös) um ungefähr -225 GE. Das heisst, mit Hilfe des "Umweges" über den Grenzerlös können wir eine Aussage über die Veränderung der Erlösfunktion aussagen, wenn der Preis p sich ändert (siehe Grafik).

\(p=150-0.4x \quad \Rightarrow \quad x(p)=375-2.5p\)

\(E(p)=p \cdot x(p)=p \cdot (375-2.5p)=375p-2.5p^2\)

\(E'(p)=375p-5p\)

\(E'(120)=375-5 \cdot 120=-225\) GE/(GE/ME)

Wird der Preis bei p = 120 GE/ME um 1 GE/ME erhöht, so verringert sich der Erlös um ungefähr -225 GE.